על רונאלדו, פנדלים ומתמטיקה

ברביעי האחרון נאפולי ניצחה את יובנטוס בגמר הגביע האיטלקי בפנדלים וזכתה בגביע השישי בתולדותיה. מי שספג את רוב הביקורות הוא כריסטיאנו רונאלדו, שמעבר למשחק חלש שלו, גם החליט לבעוט אחרון בדו קרב, בעיטה שבכלל לא הגיעה כי המשחק הוכרע כבר אחרי 4 בעיטות.

כמובן שכמו הרבה ויכוחים שקשורים לרונאלדו גם הויכוח הזה הפך די מהר למתיש לגמרי עם טיעונים כמו "הוא פחדן", "אכפת לו רק מהאגו של עצמו" ו"הוא רק רוצה את תמונת הניצחון" שעפו לאוויר. אבל האמת שהבעיה של סידור בועטים היא בעיה מעניינת, רק צריך לבוא אליה מכיוון יותר טקטי ולוגי, כמו למשל להשתמש בתורת המשחקים.

נאפולי, מרטנס, גביע איטלקי
Credit to "SSC Napoli" Facebook page

 

תורת המשחקים היא ענף במתמטיקה החוקר מצבים של קבלת החלטות בצורה מתמטית ועל ידי פישוט המצבים האלה לידי משחקים פשוטים להבנה. אם מספרים ונוסחאות לא עושים לכם את זה, אין שום סיבה להפסיק לקרוא עכשיו שכן תורת המשחקים היא לא מתמטיקה טהורה, היא משתמשת לא מעט בעקרונות מעולם הכלכלה והפסיכולוגיה וגם הטור הזה לא יכלול בתוכו נוסחאות וחישובים.

אז בואו נגדיר מין דו קרב פנדלים יותר "פשוט" והנה הכללים שלו:

  1. המאמנים הם אלה שבוחרים איזה שחקנים יבעטו ובאיזה סדר, בתורת המשחקים משתתף שמקבל החלטות נקרא "שחקן", אבל זה קצת מבלבל פה אז נמשיך לקרוא להם "מאמנים".
  2. שלא כמו בעולם האמיתי, במשחק שלנו המאמן יודע מי 5 הבועטים הטובים ביותר שלו ויודע מה הדירוג שלהם. נדרג את הבועטים מA עד E כאשר A הוא הבועט הטוב ביותר וE הוא הבועט הכי פחות טוב מבין החמישה.
  3. למאמנים אין יכולת לדעת מה הבחירות של המאמן השני וגם הם לא יכולים לשנות את זהות הבועטים ואת הסדר שלהם ככל שהדו קרב מתקדם.

כעת בואו נבדוק את האסטרטגיה של יובנטוס במשחק ביום רביעי לפי הכללים של המשחק שלנו: כריסטיאנו רונאלדו הוא בוודאי הבועט הכי טוב של יובה ולכן הוא A, פאולו דיבאלה כבר כבש שני פנדלים העונה והיה הבועט הקבוע של יובנטוס לפני הגעת רונאלדו ולכן הוא B, ארון ראמזי לא היה בועט קבוע אף פעם, אבל הוא כבש 6 פנדלים בקריירה כשהאחרון הוא לפני שנה וחצי אז הוא C, בונוצ'י בעט פנדל אחד בקריירה (וכבש אותו) ביורו 2016 נגד גרמניה, זה לא הרבה, אבל זה יותר טוב מדנילו שהפעם האחרונה שהוא בעט פנדל הייתה ב2015.

אפשר לסכם את האסטרטגיה של יובה לדו קרב:

מספר בעיטהדירוג הבועט
1B
2E
3D
4C
5A

 

כעת, בואו נבחן את האסטרטגיה של נאפולי לדו קרב, שבו אנחנו נתקלים בבעיה רצינית – אין לנו מושג מי הבועט החמישי, מכיוון שהבועט הכי טוב של נאפולי אינסינייה בעט ראשון והבועט השני הכי טוב שלה הוא מרטנס והוא בכלל לא היה על המגרש באותו זמן, אי אפשר לשער מי היה הבועט החמישי. נתוני הפנדלים של השחקנים שהיו על המגרש לא מרשימים במיוחד, אבל גם של ניקולה מקסימוביץ' שכן בעט, ולכן הדירוג שלו יהיה D. והרי הדירוג המלא: A-אינסינייה, B-מיליק, C-פוליטנו, D-הבועט החמישי וE- מקסימוביץ'.

להלן ההשוואה בין האסטרטגיות של שתי הקבוצות:

מספר בעיטהיובנטוסנאפולי
1BA
2EC
3DE
4CB
5AD

 

אפשר לראות ניגוד אחד מרכזי באסטרטגיה של שתי הקבוצות: בנאפולי שמו את A וC בשתי הבעיטות הראשונות בעוד שיובה שמו אותם בשתי הבעיטות האחרונות. ובהתאם לכך, נאפולי כבשה את שתי הבעיטות הראשונות ויובה לא, מה שגרם לכך שבעוד שנאפולי לא הגיעה לבעיטה של הבועט הרביעי הכי טוב שלה, יובה פספסה את הבועט הכי טוב.

אולי אתם קופצים ישר וחושבים "אוקיי, אז צריך לשים את הבועטים הטובים בהתחלה", אבל זה לא ממש הסיפור, כי אמנם האסטרטגיה של נאפולי ניצחה לה את הדו קרב הזה, אבל היא ניצחה בזכות ההתפתחות הספציפית של הדו קרב הזה. מה זה אומר? שכדורגל הוא משחק לא צפוי, ובמקרה הזה הבועט השני הכי טוב של יובה החטיא, שזו אפשרות פחות סבירה שתקרה. באופן שבו הדו קרב התפתח, אפשר לומר בדיעבד ששני הפנדלים הראשונים היו הכי חשובים, אבל במקרה היותר סביר, שדיבאלה כובש, אז פתאום הבעיטה החמישית היא הכי חשובה: אם מחטיאים אותה הפסדתם, ולמי תעדיפו לתת אותה, לרונאלדו או לדנילו? ואם קורה תרחיש שבה יובה מכניסה את כל 4 הבעיטות שלה והכל נופל על הפנדל החמישי, מי יותר סביר שינצח, רונאלדו או בועט שבמקרה הטוב כבש את הפנדל האחרון שלו ב2008?

רונאלדו
Credit to "UEFA Champions League" Facebook page

 

במילים אחרות, אין ממש אסטרטגיה לקרב פנדלים כי אין יכולת להבטיח האם כל בועט יכבוש ויחטיא, ובהתאם לנסיבות החשיבות של הפנדלים משתנה רטרואקטיבית: שני הפנדלים הראשונים היו הפנדלים הכי חשובים כי יובה החטיאה אותה, במקרה והיא מכניסה כל אחד מהם, הפנדל החמישי הופך להיות הכי חשוב ולכן לשים את הבועט הכי טוב אחרון הייתה אסטרטגיה טובה במקרה הזה.

לסיכום, מה שאפשר לראות מהמשחק זה שהפנדל החמישי הוא בדרך כלל הכי חשוב כי הוא קובע מצב של ניצחון והפסד. התרחיש היחיד שלפיו הפנדל החמישי הוא לא הכי חשוב הוא אם לא מגיעים לפנדל החמישי ואז הוא הופך לפנדל הכי פחות חשוב והכי חשוב הופך להיות הפנדל שהחטאת. מכיוון שאנחנו לא יודעים איזה פנדל הקבוצה הולכת להחטיא רק עד שמחטיאים אותו, הכי בטוח ונכון מבחינה הסתברותית זה לשים את הבועט הכי טוב, אחרון.

כריסטיאנו רונאלדו
כריסטיאנו. ימשיך לבעוט חמישי
Credit to "UEFA Champions League" Facebook page

5 תגובות

  1. Avatar

    יפה מאוד. לגבע המשפט האחרןן שלך, דווקא הכי בטוח ונכון להשתמש בבועט הכי טוב שלך ראשון, כי אז אתה משתמש בו בוודאות. במידה וכבש, שאר הבועטים מקבלים ביטחון. במידה והחמיץ, סביר להניח שתפסיד (כמו גם אם היה בועט אחרון).

    • Avatar

      אבל בגלל שסביר יותר שהבעיטה החמישית אכן תתממש..(כי יש סבירות גבוהה שהבועטים השניים והשלישייה בטיבם יבקיעו ) אז הבעיטה האחרונה הוכפל להיות מכריעה וכשזה מכריע אתה מעדיף שהבועט הטוב ביותר יבעט

  2. Avatar

    לא ככה בודקים הסתברויות, אין הבדל מתמטי בין לבעוט ראשון ללבעוט חמישי.
    לצורך העניין אפשר להסתכל על זה כאילו ממשיכים עד הבעיטה החמישית בכל מקרה ולא מפסיקים אם יש הכרעה.

    • Avatar

      ב 100 אחוז מהמקרים הבועט הראשון יממש את הבעיטה
      .לבועט האחרון לעולם לא יהיו 100 אחוזים כי הוא תלוי בבועטים שלפניו…

      אם זה לא מתמטיקה לא יודע מה כן חחח

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

 

אוהבים את מה שאנחנו עושים ורוצים לעזור?

תתמכו בנו

*כל תמיכה תעזור לנו לגוון ולשפר את התוכן ולצמוח